2013年8月20日星期二

一張紙對摺50次有多厚?

前天看的那本書 ,其中提過一個問題(這個問題在下不知其出處,但網上有不少人探討過的。),大約如下:
拿出一張紙,將其對摺,再對摺,共對摺50次,請問這紙對摺完之後的厚度有多少?

Model answer是:比地球與月球的距離還要厚


如果閣下己讀過高中及還記得Maths的知識,相信對這答案不會覺得怎樣,若不,應該有這反應:"有有咁誇張呀!?"

Model answer的計算如下:假設那張紙的原厚度是0.1mm厚
對摺第一次後,會變成2頁紙,厚度= 0.1 x 2 = 0.2mm
對摺第二次後,會變成4頁紙,厚度= 0.2 x 2 = 0.4mm
對摺第三次後,厚度= 0.4 x 2 = 0.8mm
對摺第四次後,厚度= 0.8 x 2 = 1.6mm
對摺第五次後,厚度= 1.6 x 2 = 3.2mm
對摺第六次後,厚度= 3.2 x 2 = 6.4mm
對摺第七次後,厚度= 6.4 x 2 = 12.8mm =1.28cm
對摺第八次後,厚度= 1.28 x 2 = 2.56cm
對摺第九次後,厚度= 2.56 x 2 = 5.12cm
對摺第十次後,厚度= 5.12 x 2 = 10.24cm
... 如此類推
結果跟這數學公式一樣 , Length x (2 ^ n) = 0.1 x ( 2 ^ 50)
= 1125899906842.62cm
= 11259 萬公里

地球與月球的距離約是 38.5萬公里,得出的結果真驚人。


但我個人的答案是,無結果、無可能。
很簡單,請想想:
(1) 先是拿出紙來,你可以拿出什麼Size的紙?
(2) 對摺是會將頁數倍增的,但倍增的同時,會生出摺口的弧位,這個有抗曲力,摺數越多,會越來越對摺。每對摺一次,紙的面積減少一半,弧位會增加厚度,同時紙的平面面積會減少。如當平面面積細過手指頭,你還能摺到嗎?

生活中也有這些對摺活動,如買報紙,報紙在買時己摺了兩次,入袋時再摺一次,這時就算用很大力,也很難再對摺多四五次吧。


好,給這題目修改一點,改成將紙對等切割再對疊(除去弧位的面積消耗因素),重複50次,再看看結果。
假如這紙張是1平方米,對摺十次的的平面闊度
= 1m x 0.5x 0.5x 0.5x 0.5x 0.5x 0.5x 0.5x 0.5x 0.5x 0.5
= 0.0009765
= 10^-4m 

如果對切33次,闊度=10^-10m

怎樣切也沒可能切得細過一粒原子的size吧!
一粒原子直徑是10^-10m,所以已不可以再切。


因此,一張正常可以拿隨手拿來的紙,物理上人手是只可以對摺到7 至10次,如是以高科技儀器去切割,就算紙張平面是1000平方米這麼大,也是對切三十多次,五十次是沒可能。


用數理去做論證,不可以(也不應)用單一公式去算,還要看上限及其他因素,否則計出來的結果就很大機會不準確。

8 則留言:

  1. 理解得到,但難以想像!

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    1. 係呀, 如果只看著一張A4 size paper, 真係幾難想像到. ^^

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  2. 很有趣!

    0.1mm 厚的紙對摺33次後厚度是 859km,即是大氣層的熱層頂部,北極光的高度,國際太空站離地的高度,97個珠穆朗瑪峰重叠的高度。已經很誇張了!(希望沒計錯)

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    1. 對摺/切33次, 我也計到出 858.99km = 859km. :)

      珠穆朗瑪峰高度是海拔8.848km, 859 / 8.848 = 97
      係喎, 真係 97個珠穆朗瑪峰重叠這麼高.

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    1. 你看圖表很棒的, 這些又怎難到你呢.

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    1. 係呀, funny, 這個世界真係好多有趣事物. ^^

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